正弦定理的证明(正弦定理的证明)

正弦定理又称为“夹角定理”，是初中数学中常见的一个定理。它的数学表达式为：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$，其中abc是三角形中的三边，ABC是对应的三角形内角。正弦定理的证明分为两种情况。

第一种情况：$\angle C$ 是锐角。假设我们想要证明：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$。根据正弦函数的定义，我们有$\sin A = \dfrac{h_a}{c}$和$\sin B = \dfrac{h_b}{c}$，其中 $h_a$ 和 $h_b$ 分别是三角形 ABC 中 $a$ 和 $b$ 对应高的长度。将这两个式子代入定理中得：$$\dfrac{a}{\dfrac{h_a}{c}}=\dfrac{b}{\dfrac{h_b}{c}}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{h_a}{h_b}$$ 因此，$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ 称为夹角定理成立。

第二种情况：$\angle C$ 是钝角。首先，我们需要知道一个性质：对于一个锐角 $\alpha$，$\sin \alpha <1$；对于一个钝角 $\beta$，$\sin \beta >1$（$\beta >90^{\circ}$）。然后，我们可以证明：$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$$ 其中 $R$ 是三角形 $ABC$ 的外接圆半径。由于 $\sin C >1$，所以 $\dfrac{c}{\sin C}=2R$，等式成立。而对于直角和锐角三角形，我们都可以用第一种情况来证明正弦定理。